Редовна polyhedra: елементи симетрија и област

Геометрија е убава затоа што, за разлика од алгебра, што не е секогаш јасно зошто и што мислите, дава визуелна објект. Овој прекрасен свет на различни тела украсуваат редовно polyhedra.

Општи информации за редовни polyhedra

Според многумина, редовно polyhedrons, или како што се нарекуваат Платонска материи, поседува уникатни својства. Со овие предмети поврзани неколку научни хипотези. Кога ќе почнат да учат на геометриски податоци на телото, ќе сфатите дека скоро и да не знаат ништо за таков концепт како редовни polyhedra. Презентацијата на овие објекти во училиштето не е секогаш интересно, па многумина дури и не се сеќавам што се викаат. Во спомен на повеќето луѓе тоа е само една коцка. Ниту еден од геометријата на телото не поседува таква перфекција како редовни polyhedrons. Сите имиња на овие геометриски тела потекнува од античка Грција. Тие претставува број на лица: тетраедар - четири страни, hexahedron - Ален, октаедар - октагон, додекаедар - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Сите овие геометриски тело зазема важно место во концептот на универзумот Платон. Четири од нив се вградени елементи или субјекти: тетраедар - оган, icosahedron - вода коцка - земјата, октаедар - воздух. Додекаедар отелотворени сите нешта. Тој се смета за главниот, како симбол на вселената.

Генерализација на концептот на полиедар

Полиедар е конечен собирање на полигони како што се:

• секоја од двете страни на некој од полигони е во исто време, само една страна на друга многуаголник на иста страна;
• од секој од полигони може да одиме на другата страна поминува во непосредна близина со него полигони.

Полигони кои го сочинуваат полиедар претставуваат своите лица и нивна страна - ребра. polyhedra темиња се темињата на полигони. Ако терминот полигон разбере рамен затворени полилинии, а потоа се дојде до еден дефиниција на полиедар. Во случај кога со овој термин се подразбира дел од авионот кој се граничи со испрекинати линии, ќе се сфати површина се состои од полигонални парчиња. Конвексен полиедар се нарекува тело лежи на една страна од авионот, во непосредна близина на лицата на своите.

Друга дефиниција на полиедар и нејзините елементи

Полиедар наречен површина се состои од полигони, со што се ограничува геометриски тело. Тие се:

• не-конвексен;
• конвексни (право и погрешно).

Редовна полиедар - е конвексен полиедар со максимална симетрија. Елементи на редовни polyhedra:

• Четириаголник: 6 ребра 4 лица 5 темиња;
• hexahedron (коцка) 12, 6, 8;
• додекаедар 30, 12, 20;
• октаедар 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

Теорема Ојлер

Тоа ја воспоставува врска помеѓу бројот на рабовите, темиња и тополошки лица се еднакви на сфера. Додавање на бројот на темиња и лица (B + D) имаат различни редовна polyhedra и споредувајќи ги со бројот на ребрата, тоа е можно да се постави едно правило: Збирот на бројот на лицата еднаков на бројот на темиња и рабови (P) се зголеми за 2. Тоа е можно да се изведе едноставна формула:

• B + D = P + 2.

Оваа формула важи за сите конвексни polyhedra.

основни дефиниции

Концептот на редовен полиедар е невозможно да се опише во една реченица. Тоа е повеќе ценет и волумен. А телото да бидат признати како такви, тоа е потребно да ги исполнува голем број на дефиниции. Така, геометриски тело ќе биде редовен полиедар кога се исполнети следниве услови:

• тоа е конвексен;
• ист број на ребра конвергира на секој од неговите темиња;
• сите аспекти на неговата - редовна полигони, еднакви едни на други;
• Сите dihedral агли се еднакви.

Својства на редовни polyhedra

Постојат 5 различни видови на редовни polyhedra:

1. Коцка (hexahedron) - тоа има рамен врвот агол од 90 °. Таа има 3 еднострани агол. Лице износот агли на врвот на 270 °.
2. Четириаголник - рамен аголот на врвот на - 60 °. Таа има 3 еднострани агол. Лице износот агли на врвот - 180 °.
3. Октаедар - рамен аголот на врвот на - 60 °. Таа има четири страни агол. Лице износот агли на врвот - 240 °.
4. Додекаедар - рамен аголот на врвот на 108 °. Таа има 3 еднострани агол. Лице износот агли на врвот - 324 °.
5. Icosahedron - тоа има рамен аголот на врвот - 60 °. Тој има пет еднострани агол. Лице износот агли на врвот на 300 °.

Од областа на редовни polyhedra

површина од површината на геометриски тела (S) се пресметува како правилен многуаголник површина помножена со бројот на домени (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

Обемот на редовен полиедар

Оваа вредност се пресметува со множење на обемот на редовна пирамида чија база е правилен многуаголник, бројот на лицата, а неговата висина е впишан радиусот на сфера (R):

• V = 1: 3RS.

Количини на редовна polyhedra

Како и секој друг геометриски солидна, редовно polyhedra имаат различни простори. Подолу се формули со кои тие може да се пресмета:

• Четириаголник: α x 3√2: 12;
• октаедар: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• hexahedron (коцка): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• додекаедар: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Елементи на редовни polyhedra

Hexahedron и октаедар се со двојна геометриски тела. Со други зборови, тие можат да добијат од едни на други, во случај дека Тежиште на еден се зема како врвот на другите, и обратно. Исто така, се со двојна icosahedron и додекаедар. Самиот само тетраедар е двојна. Според начинот на Евклид може да се добијат од додекаедар hexahedron преку градење на "покриви" на лицата на коцка. Темиња на тетраедар се било 4 темиња на коцка, не во непосредна близина парови по должината на работ. Од hexahedron (коцка) може да се добијат и други редовни polyhedra. И покрај фактот дека редовно полигони постојат безброј, редовно polyhedra, има само 5 се.

Радиусите на редовни полигони

Со секој од овие геометриски тела се сврзани концентрични сфери 3:

• опишани минува низ темиња;
• впишани во врска со секоја од лицата на своите во средината на неа;
• Средната во однос на сите рабови во средината.

На радиус од сферата опишано со следнава формула се пресметува:

• R = a: 2 x TG π / g x TG θ: 2.

Радиусот на впишан област е пресметано како што следува:

• R = a: 2 x CTG π / p x TG θ: 2,

каде θ - dihedral агол кој е помеѓу соседните аспекти.

На средната радиусот на сфера може да биде пресметана со користење на следнава формула:

• ρ = a cos π / p: 2 грев π / h,

каде H = големината на 4.6, 6.10, или 10. односот на радиусот на впишан опишани и симетрично во однос на p и q. Тоа се пресметува на следниот начин:

• R / r = tg π / p x TG π / q.

Симетријата на polyhedra

Симетријата на редовна polyhedra е од примарен интерес на овие геометриски тела. Разбирливо е како движење на телото во просторот, што остава ист број на темиња, се соочува и рабови. Со други зборови, под влијание на симетрија трансформации работ, теме, или лице задржува својата оригинална позиција, или се движи кон дома позиција на друга ребро, ги другите вертикали или лица.

Елементи на симетрија на редовна polyhedra се заеднички за сите видови на геометриски тела. Еве што се спроведува врз трансформацијата на идентитетот, што остава кој било од точките во првобитната положба. Значи, кога ќе се сврти полигонални призма да се добијат некои симетрија. Секоја од нив може да се претстави како производ на размислување. Симетрија, која е производ на парен број на рефлексии, наречен директен. Ако тоа е производ на непарен број на рефлексии, тогаш тоа се нарекува фидбек. Така, сите се врти околу линијата претставуваат директно симетрија. Секое одраз полиедар - е обратна симетрија.

За подобро разбирање на симетрија елементи на редовна polyhedra, може да се земе примерот на тетраедар. Секое линија која ќе помине низ едно од темињата и центарот на геометриска форма, ќе се одржи и низ центарот на работ спротивно на тоа. Секоја од се врти 120 и 240 ° околу линијата припаѓа на множина tetrahedral симетрија. Со оглед на тоа 4 темиња и страни, ние се добие вкупно осум директна симетрија. Било кој од линиите што поминуваат низ средината на рабовите и во центарот на телото, што поминува низ средината на спротивниот раб. Секое ротација од 180 °, го нарекува половина сврти права симетрија. Од тетраедар има три пара ребра, ќе добие три линии на симетрија. Врз основа на погоре, можеме да заклучиме дека вкупниот број на директни симетрија, вклучувајќи и трансформација на идентитетот, ќе биде до дванаесет. Други директни симетрија тетраедар не постои, но тоа има 12 инверзна симетрија. Како резултат на тоа, само 24 назначен тетраедар симетрија. За да биде појасно, ние може да се изгради модел на правилен тетраедар направени од картон и бидете сигурни дека тоа е геометриска тело навистина има само 24 симетрија.

Додекаедар и icosahedron - најблиску до областа на телото. Icosahedron има најголем број на лица, на dihedral агол и најмногу од сè може цврсто да се држат до впишан сфера. Додекаедар има најниска аголна дефект најголемиот солидна агол на теме. Тоа може да се зголеми за да се пополни во сферата на ограничена.

скенирање polyhedra

Редовна polyhedra скенирање, кои сите ние се држат заедно во детството, имаат многу концепти. Ако таму е збир на полигони, секоја од страните на кои се утврдува со само една страна на полиедар, идентификација на партиите мора да се усогласат со два услови:

• на секој многуаголник, можете да одат на многуаголник има идентификација на страна;
• идентификува страна треба да имаат иста должина.

Тоа е збир на полигони кои ги исполнуваат овие услови, и се нарекува полиедар скенирање. Секој од овие органи има неколку од нив. На пример, една коцка на која има 11 парчиња.