Ирационални броеви: што е тоа и за што се користи?

Што е ирационален број? Зошто тие го нарекуваат? Каде што се користат и што го прави? Ретко кој може без двоумење да одговорите на овие прашања. Но, всушност, одговорите се прилично едноставни, но не сите се потребни и во многу ретки ситуации,

Суштината и означување

Ирационални броеви се бескрајни не-периодични децимали. Потребата да се воведе овој концепт произлегува од фактот дека со цел да се справат со новите новите предизвици се недоволни претходно постојните концепти за вистински или вистински, цели, природни и рационални броеви. На пример, со цел да се пресмета на плоштадот вредност е 2, тоа е потребно да се користи не-периодични бесконечна децимални дел. Покрај тоа, многу едноставни равенки, исто така, немаат решение без воведување на концептот на ирационални броеви.

Оваа група е означена како I. И, како што стана јасно, овие вредности не може да се претстави како едноставно дропка, чиј броител е целина, и именител - природен број.

За прв пат на еден или друг начин, со овој феномен се соочуваат индиски математичари во VII век пред нашата ера, кога било откриено дека квадратен корен на одредени количини може да се јасно идентификувани. Првиот доказ за постоењето на такви броеви е заслужен Питагоровата Hippasus, кој го направи во студијата на рамнокрак правоаголен триаголник. А сериозен придонес во проучувањето на овој сет донесоа дури и некои научници кои живееле пред Христос. Воведувањето на концептот на ирационални броеви доведе до ревизија на постоечките математички систем, кој е зошто тие се толку важни.

Потекло на името

Ако соодносот на латински - е "удар", "став" префиксот "МР"
во прилог на зборот спротивното. Така, името на пакетот на овие бројки покажуваат дека тие не можат да бидат во корелација со цел број или фракционо, имаат седиште. Ова произлегува од нивната природа.

Место во генералниот пласман

Ирационални броеви, заедно со рационално се однесува на група на вистинска или виртуелна, кои за возврат им припаѓаат на комплексот. Подмножества, сепак, не се прави разлика помеѓу алгебарски и трансцендентална вид, која ќе се дискутира подолу.

својства

Бидејќи ирационални броеви - тоа е дел од множество на реално, потоа се применува на сите нив на нивните имоти, кои се изучуваат во аритметиката (исто така наречени основни закони алгебарски).

a + b = b + a (комутативност);

(A + b) + c = a + (b + c) (асоцијативност);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (постоење на спротивното);

ab = БА (комутативен закон);

(Ab) c = a (bc) (дистрибутивност);

a (b + c) = ab + наизменична струја (дистрибутивна закон);

ax 1 = a

ax 1 / a = 1 (инверзен број на постоење);

Споредба, исто така, се направени во согласност со општите закони и принципи:

Ако a> b и b> c, тогаш a> c (сооднос transitivity) и. t. d.

Се разбира, сите ирационални броеви може да се конвертира користење на основните аритметички операции. Некои посебни правила во ова.

Покрај тоа, ирационални броеви опфатени со аксиомата Архимед. Во него се вели дека за секоја двете вредности на a и b е точно дека, со преземање на терминот како доволен број пати, тоа е можно да се победи б.

употребата на

И покрај фактот дека во реалниот живот не често мора да се справи со нив, ирационални броеви не даде сметка. Тие се голем број, но тие се практично невидливи. Ние сме опкружени со ирационални броеви. Примери, познат на сите, - бројот Пи, еднаква 3.1415926 ... или е, во суштина е база на природни логаритми, 2,718281828 ... Во алгебра, геометрија и тригонометрија треба да ги користите постојано. Патем, добро позната вредност на "златниот дел", односно односот на колку од високо на ниско и обратно, и Таа се однесува на овој сет. Помалку познати "сребрени" - исто така.

На бројот линија, тие се многу блиски, така што помеѓу било кои две количини, опфатени со збир на рационални, ирационален мора да се случи.

До сега, има многу нерешени прашања во врска со овој сет. Постојат критериуми како што се ирационалноста на мерката и нормалноста на број. Математичарите продолжат да се истражуваат од најзначајните примери за нивната припадност на една или друга група. На пример, се претпоставува дека е - нормално број, односно на веројатноста за појава на снимање на својот различни фигури се исти ... Што се однесува до pi, тогаш неговата релативно долг под истрага. Мерка ирационалност, исто така, се нарекува вредност, покажува колку добро одреден број може да се поистоветат со рационални броеви.

Алгебарски и трансцендентална

Како што веќе рековме, ирационални броеви условно поделени во алгебарски и трансценденталното. Конвенционално, затоа што, строго земено, класификација се користи за да се подели на плуралноста В.

Во овој контекст се крие на комплексни броеви, кои вклучуваат вистински или реално.

Значи алгебарски нарекува вредност, што е корен на полиномот не е идентично нула. На пример, квадратен корен од 2 ќе спаѓаат во оваа категорија, бидејќи тоа е решение на равенката x ² - 2 = 0.

Сите други реални броеви кои не ги исполнуваат овој услов се нарекуваат трансценденталното. Овој вид и се повеќето познати и претходно споменато примери - пи број и природниот логаритам основа e.

Интересно е тоа што ниту еден, ниту вториот првично биле одгледани од математичари како такви, нивната ирационалност и трансценденција е докажано преку многу години по нивното откритие. За пи доказ беше обезбедена во 1882 година и поедноставени во 1894 година, со кој беше ставен крај на дебатата за проблемот на квадратура на кругот, која траеше 2500 години. Тоа се уште не е целосно сфатена, така што современите математичари работа да се направи. Патем, првиот разумно точна пресметка на оваа вредност имаше Архимед. Пред него, сите пресметки беа премногу приближни.

За e (Ојлеров број, или Британија), доказ за неговата возвишеност е пронајден во 1873 година. Тоа се користи за решавање на логаритамски равенки.

Меѓу другите примери - вредностите на синус, косинус и тангенс за било нула алгебарски вредности.