Теоријата на веројатност. Веројатноста на некој настан, повремени настан (теоријата на веројатност). Независно и во согласност случувања во теоријата на веројатност

Тоа е веројатно дека многу луѓе мислат дека тоа е можно да се избројат настани, кои до одреден степен случајно. Да го стави во едноставни зборови, тоа е реално да се знае на која страна од коцката во генерал ќе падне следниот пат. Тоа беше ова прашање да се постави два големи научници, се вградија во темелите за оваа наука, теоријата на веројатност, веројатноста на настанот во кој студирал доволно опширно.

генерација

Ако се обидете да се дефинира таков концепт како теоријата на веројатност, ние се следните: ова е една од гранките на математиката која ги проучува постојаност на случајни настани. Јасно е дека овој концепт навистина не ја открива суштината, така што треба да го разгледа во повеќе детали.

Јас би сакал да се започне со основачите на теорија. Како што беше споменато погоре, имаше две, дека Per Ferma и Blez Паскал. Тие беа првите обид користење формули и математички пресметки за пресметување на резултатот на настанот. Во принцип, на зачетоци на оваа наука е дури и во средниот век. Додека различни мислители и научници се обиделе да се анализира на казино игри како што се рулет, игра на зарове, и така натаму, а со тоа да се воспостави модел, а процентот губење на број. Фондацијата исто така беше поставен во XVII век тоа беше претходно споменатите научници.

Првично, нивната работа не може да се припише на големите достигнувања во оваа област, по сите, што се случи тоа, тие едноставно беа емпириски факти и експерименти беа јасно, без користење на формули. Со текот на времето, се покажа за да се постигне големи резултати, кои се појавија како резултат на набљудување на актерската екипа на коските. Тоа е овој инструмент помогна да се случи првиот посебна формула.

поддржувачи

А да не зборуваме таков човек како Кристијан Хајгенс, во процесот на проучување на предметот што го носи името на "теоријата на веројатност" (веројатноста на настанот се нагласува во оваа наука). Овој човек е многу интересно. Тој, како и научници прикажани погоре се суди во форма на математички формули да се заклучи модел на случајни настани. Вреди да се одбележи дека тој не го споделам со Паскал и Ферма, тоа е негова работа не се поклопуваат со оние умови. Хајгенс добиени со основните концепти на теоријата на веројатност.

Интересен е фактот дека неговата работа беше долго пред резултатите од делата на пионери, за да биде точно, дваесет години порано. Постојат само меѓу концептите идентификувани беа:

• како концепт на веројатноста вредности среќа;
• очекување за дискретни случај;
• теореми на собирање и множење на веројатностите.

Исто така, не може да го заборави Yakoba Bernulli, кој исто така придонесе кон проучувањето на проблемот. Преку нивната сопствена земја, ниту еден од нив се независни тестови, тој беше во можност да обезбедат доказ на законот на големи броеви. За возврат, научниците Поасон и Лапласова, кој работел во почетокот на XIX век, беа во можност да се докаже на оригиналниот теорема. Од тој момент, да ги анализираат грешките во забелешките што почна да го користи теоријата на веројатност. Партијата околу оваа наука не може и руски научници, а Марков, Chebyshev и Dyapunov. Тие се базираат на сработеното големи гении, обезбедени предмет како гранка на математиката. Ние работевме овие бројки на крајот на деветнаесеттиот век, и благодарение на нивниот придонес, за кои е докажано феномени како што се:

• законот на големи броеви;
• Теорија на Марков синџири;
• гранична теорема централниот.

Значи, историјата на раѓањето на науката и со главните личности кои придонеле за тоа, сè е повеќе или помалку јасни. Сега е време да месо од сите факти.

основните концепти

Пред да го допре закони и теореми треба да ги научат основните концепти на теоријата на веројатност. Настанот го зазема доминантна улога. Оваа тема е прилично богат, но нема да биде во можност да се разбере сите останати без него.

Настан во теоријата на веројатност - тоа Било кој збир на резултатите од експериментот. Концепти на оваа појава не е доволно. Така, Лотман научник работат во оваа област, изрази дека во овој случај станува збор за тоа што "се случи, иако тоа не може да се случи."

Случајни настани (теоријата на веројатност, посветува особено внимание на нив) - е концепт кој вклучува апсолутно секој феномен има можност да се случи. Или, напротив, ова сценарио може да се случи во вршењето на различни услови. Тоа е исто така вреди да се знае кои го окупираат целиот обем на феномени кои се случуваат само случајни настани. Теорија на веројатност укажува на тоа дека сите услови може да се повторува постојано. Тоа е нивното однесување е наречен "искуство" или "тест".

Значаен настан - ова е една појава што е сто проценти во овој тест се случи. Соодветно на тоа, невозможно настан - ова е нешто што не се случи.

Комбинирање на парови акција (конвенционално случај А и случај Б) е појава која се случува истовремено. Тие се познати како АБ.

Износот на парови на настаните A и B - C е, со други зборови, доколку најмалку еден од нив ќе (А или Б), ќе добие C. Формулата е опишано феномен е напишана како C = A + Б.

Некомпатибилните случувања во теоријата на веројатност подразбира дека два случаи се исклучуваат. Во исто време тие се во секој случај не може да се случи. Заеднички настани во теоријата на веројатност - тоа е нивната антипод. Импликацијата е дека ако се случи, тоа не ја исклучува В.

Спротивставувајќи се на настанот (теоријата на веројатност ги смета во големи детали), се лесно да се разбере. Тоа е најдобро да се справи со нив, во споредба. Тие се речиси исти како и во согласност случувања во теоријата на веројатност. Сепак, нивната разлика е во тоа што треба да се случи еден од плуралноста на појавите во секој случај.

Подеднакво веројатно настани - тие акции, можноста за повторување е еднаков. Да се направи јасно, можете да замислите фрлаат паричка: губење на еден од нејзините страни подеднакво е веројатно губење на други.

тоа е полесно да се разгледа примерот на фаворизирање на настанот. Да претпоставиме дека постои една епизода во епизода А. Првиот - ролна умре со доаѓањето на непарен број, а вториот - појавата на бројот пет на генерал. Тогаш излегува дека А е фаворизирана од В.

Независни настани во теоријата на веројатност се проектирани само на два или повеќе наврати и да се вклучат независни од било каква акција од другите. На пример, една - во загуба опашки монета превртував, и Б - dostavanie приклучок од палубата. Тие имаат независни настани во теоријата на веројатност. Од овој момент стана јасно.

Зависни настани во теоријата на веројатност е, исто така, е дозволено само за нивното формирање. Тие имплицираат зависност од еден на друг, што е, овој феномен може да се случи само во случај кога веќе се има појавено А или, напротив, не се случи, кога тоа е - главниот услов за Б.

Исходот од случаен експеримент се состои од една компонента - тоа е основното настани. Теорија на веројатност вели дека тоа е феномен што се прави само еднаш.

основната формула

Така, над се смета за концептот на "настан", "теоријата на веројатност", дефиниции на клучни зборови на оваа наука, исто така, беше дадена. Сега е време да се запознае со важни формули. Овие изрази се математички потврди сите главни концепти во таква тешка тема како теоријата на веројатност. Веројатноста на некој настан и игра огромна улога.

Подобро да се започне со основните формули на комбинаторика. И пред да ги започнете, тоа е вреди да се размислува што е тоа.

Комбинаторика - првенствено е гранка на математиката, тој е проучување на голем број на цели броеви, и различни пермутации и на броеви и нивните елементи, различни податоци, итн, што доведува до голем број на комбинации ... Во прилог на теоријата на веројатност, оваа индустрија е важен за статистика, компјутерски науки и криптографија на.

Па сега може да се движи кон презентирање на себе и за својата дефиниција формули.

Првиот од овие е израз за бројот на пермутации, тоа е како што следува:

P_n ⋅ = n (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 1 ⋅ ⋅ = n!

Равенката се применува само во случај ако елементи се разликуваат само во редот на аранжманот.

Сега формула поставеност, тоа изгледа како тоа ќе се смета:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ⋅ ... (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Овој израз се однесува не само на единствениот елемент на цел поставеност, но исто така и на неговиот состав.

На третата равенката на комбинаторика, и што е вториот, наречен формула за бројот на комбинации:

C_n ^ m = n! : ((N - м))! : M!

Комбинација наречен земање мостри, кои не се нареди, односно, да се применува и ова правило.

Со формули на комбинаториката дојде да се разбере лесно, сега можете да одите на класичната дефиниција на веројатност. Изгледа дека овој израз како што следува:

P (A) = m: n.

Во оваа формула, М - е бројот на услови погодни за настанот А и n - број на подеднакво и целосно сите елементарни настани.

Постојат многу начини на изразување во статијата нема да се смета за ништо, но под влијание ќе биде најважниот оние како што се, на пример, веројатноста на настани изнесува:

P (A + B) = P (A) + P (B) - оваа теорема за додавање на само взаемно исклучиво настани;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - но ова е само за додавање компатибилни.

Веројатноста на дела на настанот:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - оваа теорема за независни настани;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - и ова за зависни.

Заврши листа на настани формула. Теоријата на веројатност ни кажува теорема Bayes, кој изгледа вака:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

Во оваа формула, H _1, H _2, ..., _n H - е комплетен сет на хипотези.

На оваа точка, примена примероци формули сега ќе се смета за специфични задачи од практиката.

примери

Ако внимателно проучување било која гранка на математиката, тоа не е без вежби и примерок решенија. И теоријата на веројатност: настани, примери овде се составен дел на потврдување на научни пресметки.

Формулата за бројот на пермутации

На пример, во палубата картичка имаат триесет картички, почнувајќи со номинална еден. Следното прашање. Колку начини да се свитка на палубата, така што на картички со номинална вредност од еден и два не се наоѓа во близина?

Задачата е поставена, сега ајде да се движат за да се справи со неа. Прво треба да се утврди бројот на пермутации на триесет елементи, за оваа намена се земе горната формула, излегува P_30 = 30!.

Врз основа на ова правило, знаеме колку многу опции се таму за да се утврдат на палубата на многу начини, но ние мора да се одземе од нив се оние во кои првата и втората картичка ќе биде следниот. Да го направите ова, почнете со една варијанта, кога за првпат се наоѓа на вториот кат. Излегува дека првата карта може да потрае дваесет и девет места - од првиот до дваесет и деветти, а втората картичка од втората до триесет години, се врти дваесет и девет седишта за пара картички. За возврат, на другите им се потребни дваесет и осум седишта, и во секој ред. Тоа е, за преуредување на дваесет и осум картички дваесет и осум опции P_28 = 28!

Резултатот е дека ако сметаме дека одлуката, кога првата карта е на вториот дополнителна можност да добие 29 ⋅ 28! = 29!

Со истиот метод, треба да се пресмета бројот на непотребни опции за случај кога првата картичка се наоѓа во рамките на вториот. Исто така, добива 29 ⋅ 28! = 29!

Од ова следува дека дополнителни опции 2 ⋅ 29!, А потребните средства за собирање на палубата 30! - 2 ⋅ 29!. Останува само да се пресмета.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Сега ние треба да се размножуваат собере сите на броеви 1-29, а потоа на крајот сите се множи со 28. одговорот добиен 2,4757335 ⋅ 〖〗 ^ 10 32

Примери на решенија. Формулата за бројот на сместување

Во овој проблем, што треба да дознаете колку има начини да се стави на петнаесетина книги на полица, но под услов дека само триесет тома.

Во оваа задача, одлуката малку полесен од претходниот. Со користење на веќе позната формула, тоа е потребно да се пресмета вкупниот број на триесетина локации петнаесетина книги.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ⋅ 28⋅ ... (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Одговор, односно, ќе биде еднаква на 202 843 204 931 727 360 000.

Сега ги преземе задача малку потешко. Вие треба да знаете колку има начини да се организира на триесет и две книги на полиците, со клаузула дека само петнаесетина книги можат да живеат на иста полица.

Пред почетокот на одлуката би сакал да се појасни дека некои од проблемите може да се реши на повеќе начини, и во ова постојат два начини, но се применува еден и со истата формула.

Во оваа задача, може да се земе одговорот од претходната, бидејќи таму имаме пресметува бројот на пати можете да го пополните полица за петнаесет книги на различни начини. Се покажа A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... 16.

Втората чета пресметано со формула реконструкција, поради тоа што е ставен петнаесет книги, додека остатокот од петнаесет години. Ние ги користиме формула P_15 = 15!.

Излегува дека сумата ќе A_30 ^ 15 ⋅ P_15 начини, но, исто така, производ на сите броеви 30-16 ќе се помножи со производ на броеви 1-15, на крајот да испаднат производ на сите броеви 1-30, тоа е одговорот е 30!

Но, овој проблем може да се реши на поинаков начин - полесно. За да го направите ова, можете да се замисли дека постои една полица за триесет книги. Сите од нив се поставени на овој авион, туку затоа што на состојба бара дека имало две полици, еден долг ние пила во половина, два се врти петнаесет години. Од ова излегува дека за овој аранжман може да биде P_30 = 30!.

Примери на решенија. Формулата за бројот на комбинации на

Кој се смета за една варијанта на Третиот проблем комбинаторика. Вие треба да знаете колку начини постојат за да се организира петнаесет книги под услов дека мора да изберете од триесет иста.

За одлуката ќе, се разбира, ќе се применуваат формулата за бројот на комбинации. Од состојбата што станува јасно дека со цел на истата петнаесет книги не е важно. Значи на почетокот треба да се најде надвор од вкупниот број на комбинации на триесет петнаесет книги.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! 155117520 =

Тоа е се. Користејќи се со оваа формула, во најкус можен рок да се реши таков проблем, одговорот, односно еднаква на 155.117.520.

Примери на решенија. Класичниот дефиниција на веројатност

Со користење на формулата дадена погоре, може да се најде одговор во едноставна задача. Но, тоа јасно ќе се види и да го следат текот на акцијата.

Задачата оглед на тоа што во урна постојат десет целосно идентични топчиња. Од нив, четири и шест жолта сина боја. Превземено од урната една топка. Неопходно е да се знае веројатноста dostavaniya сина боја.

За да се реши проблемот потребно е да се одреди dostavanie сина топка настанот A. Ова искуство може да има десет резултати, кои, пак, основно и подеднакво веројатно. Во исто време, шест од десет се поволни за настанот A. Решавање на следнава формула:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Примената на оваа формула, научивме дека можноста dostavaniya сино топката е 0,6.

Примери на решенија. Веројатноста на настани износ

Кој ќе биде варијанта која е решен со користење на формулата на веројатноста на настани износ. Значи, со оглед на условот дека постојат два случаи, од кои првиот е сива и пет бели топки, а вториот - осум сива и четири бели топчиња. Како резултат на тоа, првото и второто поле ги направиле на еден од нив. Тоа е потребно за да дознаете какви се шансите на кои им недостига топки се со сива и бела боја.

За да се реши овој проблем, потребно е да се идентификуваат на настанот.

• Така, - имаме сива топката на првата кутија: P (A) = 1/6.
• А "- бела сијалица, исто така, земени од првата кутија: P (A) = 5/6.
• На - веќе извлечена сив топката на вториот канал: P (B) = 2/3.
• B '- зеде сива топката на втората фиоката: P (B') = 1/3.

Според проблем, неопходно е дека една од појавите што се случи: АБ "или" Б. Користење на формулата, ние се добие: P (ab ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Сега се користи формулата на множење на веројатност. Потоа, за да дознаете одговорот, треба да ги применат своите равенка додавајќи:

P = P (ab '+ A'B) = P (ab') + P (A'B) = 11/18.

Тоа е како, со користење на формулата, може да се решат ваквите проблеми.

резултат

Реферат поднесен на информации за "теоријата на веројатност", веројатноста на настани кои играат важна улога. Се разбира, не е сè што се смета, но врз основа на текстот претстави, теоретски може да се запознаат со оваа гранка на математиката. Смета науката може да биде корисно не само во професионални бизнис, но исто така и во секојдневниот живот. Можете да го користите за да се пресмета секоја можност на настанот.

Текстот е исто така под влијание на значајни датуми во историјата на развојот на теоријата на веројатност како наука, како и имињата на луѓето, чии дела се стави во неа. Тоа е како човечки љубопитност доведе до фактот дека луѓето научиле да бројат, дури и случајни настани. Откако тие се само заинтересирани за тоа, но денес тоа е веќе позната на сите. И никој не може да каже што ќе се случи со нас во иднина, што други брилијантен откритија во врска со теоријата која се разгледува, ќе бидат извршени. Но, едно е сигурно - студијата се уште не е достоен за тоа!