Геометриска прогресија и нејзините својства

Геометриска прогресија е важно во математиката како наука, и применети значење, бидејќи тоа има исклучително широк опсег, дури и во виша математика, на пример, во теоријата на серијата. Првиот информации за напредокот дојдоа до нас од древниот Египет, особено во форма на добро познатиот проблем на папирусот Rhind седум лица со седум мачки. Варијации на оваа задача се повторува повеќе пати во различни периоди од другите народи. Дури Велики Леонардо Pizansky, познат како Фибоначи (XIII в.), Зборуваше со неа во неговата "Книга на Абакус".

Така што на геометриска прогресија има античка историја. Тоа претставува нумеричка секвенца со нула првиот член, и секоја последователна, почнувајќи со вториот се утврдува со множење на претходниот повторување со формулата на константна, нула број, кој се нарекува именител прогресија (тоа обично назначени со користење на букви q).
Очигледно, тоа може да се даде со делење на секоја последователна парк од секвенцата на претходните, т.е. z 2: 1 = z ... = Zn: z n-1 = .... Како резултат на тоа, за повеќето прогресија работа (Zn) доволно дека знае вредноста на првиот мандат на именителот и y 1 q.

На пример, да z 1 = 7, q = - 4 (q <0), тогаш следниве геометриска прогресија се добива 7 - 28, 112 - 448, .... Како што можете да видите, како резултат на низа не е монотон.

Потсетиме дека произволна низа на монотоно (зголемување / намалување), кога еден од нејзините членови следат повеќе / помалку од претходниот. На пример, секвенца 2, 5, 9, ..., и -10, -100, -1000, ... - еднобојна, второто еден - намалување на геометриска прогресија.

Во случај кога Q = 1, сите членови се резултат да биде, и тоа се нарекува постојана прогресија.

Редоследот беше прогресија на овој вид, мора да ги задоволуваат следниве неопходни и доволни услови, и тоа: почнувајќи од втората, секој од неговите членови треба да бидат геометриската средина на соседните членови.

Овој имот дозволува под одредени две соседни наод произволни рок прогресија.

n-ти парк експоненцијално лесно да се најде со формулата: Zn = z 1 * q ^ (n-1), z се знае првиот член 1 и именителот q.

Од секвенца број има сума, а потоа неколку едноставни пресметки ни даде формула за пресметување на збирот на првите прогресија на членови, и тоа:

S N = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).

Замена, во формулата израз вредноста не Zn z 1 * q ^ (n-1) за да се добие втората сума со формулата на прогресијата на: S n = - Z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Е достоен за внимание на следниве интересен факт: таблет глина најде во ископувањата на древниот Вавилон, кој се однесува на VI. П.н.е., нуди извонреден начин Збирот на 1 + 2 + ... + се уште не се пронајдени 22 + 29 еднаква на 2 до десеттиот моќ минус 1. објаснување на овој феномен.

Ние се напомене една од особините на геометриска прогресија - постојана работа на неговите членови, распоредени на еднакви растојанија од крајот на низата.

Од особено значење од научна гледна точка, такво нешто како бескрајна геометриска прогресија и пресметување неговата висина. Под претпоставка дека (ин) - геометриска прогресија има именител q, се задоволи условот | q | <1, висината ќе бидат наведени на границата кон кои ние веќе знаеме збирот на првите членови, со неограничен зголемување на n, имаат во него се приближува бесконечност.

Најди овој износ како резултат на користење на формулата:

S N = y 1 / (1- q).

И, како што покажа искуството, за очигледната едноставност на оваа прогресија се крие огромен потенцијал апликација. На пример, ако ние се изгради низа на плоштадите според следниов алгоритам, поврзување на midpoints на претходниот, тогаш тие формираат плоштад бескрајна геометриска прогресија има именител 1/2. Истото прогресија форма и областа на триаголници, добиени во секоја фаза на изградба, а неговата сума е еднаква на подрачјето на оригиналниот плоштад.