Едноставен метод повторување за решавање системи линеарни равенки (Слау)

Едноставен метод повторување, исто така, повика на методот на сукцесивна апроксимација, - математички алгоритам за наоѓање на вредностите на непознат вредност преку постепено се разјаснат. Суштината на овој метод е тоа што, како што сугерира името, постепено се изразува почетна приближување на последователните оние, стануваат се повеќе рафинирано резултати. Овој метод се користи за да се најде вредноста на променливите во дадена функција, и решавање на системи на равенки, линеарни и нелинеарни.

Ајде да видиме како овој метод се спроведува во решавање на линеарни системи. фиксна точка повторување алгоритам е како што следува:

1. проверка на условите за конвергенција во почетна матрикс. Конвергенција теорема: ако оригиналниот систем матрица е дијагонално доминантна (односно, секој ред на елементите на главната дијагонала мора да биде поголема во големина од збирот на елементите страна дијагонали во апсолутна вредност), начинот на едноставни повторувања - конвергентна.

2. матрица на оригиналниот систем не е секогаш дијагонала доминација. Во такви случаи, системот може да се трансформира. Равенките кои ги задоволуваат условите на конвергенција се оставени недопрени, со непријатни и да се направи линеарни комбинации, т.е. се размножуваат, одзема, равенката е повлечен заедно за да се произведе посакуваниот резултат.

Ако примената на системот на главната дијагонала се неповолно фактори, тогаш на двете страни на оваа равенка се додаваат со поглед на формата _i * x _I, која треба да се совпаѓа со знаци знаци на дијагоналната елементи.

3. Конвертирање како резултат на системот за да се нормалниот приказ:

^{x - = β - + α *} x -

Ова може да се направи на многу начини, на пример: од првата равенка за да го изразат x ₁ низ други непознати, на vtorogo- x ₂ x ₃ од tretego- итн Така ние сме со користење на формулата:

_{α ij = - (a ij /} a ii)

_i = b _I / а _ii
Бидете сигурни дека еднаш дека како резултат на системот на нормален тип одговара на состојбата на конвергенција:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, а i = 1,2, ... n

4. Започне се користи, всушност, начинот на последователни приближни.

x ⁽⁰⁾ - почетна апроксимација, ние изразуваат низ нив x ^(1), по што следи од страна на X ⁽¹⁾ x express ^(2). На општата формула форма на матрица како што следува:

x ^{(N) = β - + α} * x (n- ¹⁾

Ние се пресмета, додека не се постигне саканата точност:

_{максимум | x i (k) -X} i (K + 1) ≤ ε

Значи, ајде да погледнеме во пракса, начинот на едноставен повторување. На пример:
Решавање на линеарни системи:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 со точност ε = 10 ^-3

Види преовладуваат ако дијагоналната елементи на модулот.

Гледаме дека состојбата на конвергенција е задоволен од трета равенката. Првиот и вториот трансформира, првата равенка ние додадете две:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Одземе од третиот еден:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Ние се трансформира на оригиналниот систем во еквивалентни:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Сега ние се намали систем во нормала преглед:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
X3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Ние се провери на конвергенција на повторната процес:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, т.е. условот е исполнет.

0,3947
Првичните приближување x ⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Замени овие вредности во равенката на нормален тип, ние се добие на следните вредности:

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0,486793
0.446639

Замена на нови вредности, се добива:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0,405396
0.558336

Ние продолжуваме да се пресмета, додека додека да се доближи до вредностите кои ги исполнуваат определени услови.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0,441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0,44164

0.544428

Проверка на точноста на резултатите:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Добиени со замена на најде во оригиналната равенка вредности резултати, целосно ги исполнуваат условите од равенката.

Како што можеме да видиме, едноставен метод на повторување дава прилично точни резултати, но да се реши оваа равенка, моравме да се трошат многу време и направи тежок пресметки.