Конвексен многуаголник. Дефиниција на конвексен многуаголник. Дијагоналите на конвексен многуаголник

Овие геометриски форми се насекаде околу нас. Конвексен многуаголник се природни, како што се на саќе или вештачки (човекот). Овие бројки се користат во производство на различни видови на облоги во уметноста, архитектурата, украси, итн Конвексен многуаголник имаат имот што нивните точки лежат на страна на права линија која поминува низ пар од соседни темиња на геометриската фигура. Постојат и други дефиниции. Се нарекува конвексен многуаголник, кој е поставен во една полу-рамнина во однос на било права линија која содржи еден од неговите страни.

конвексен многуаголник

Во текот на основното геометрија секогаш се третираат крајно едноставно полигони. За да се разбере својства на геометриски форми, треба да се разбере нивната природа. Да почнат да се разбере дека е затворен било која линија чии краеви се исти. И таа бројка формирана од страна на тоа, може да имаат различни конфигурации. Многуаголник е наречен едноставно затворени polyline чија непосредна близина единици не се наоѓа на една права линија. Неговите врски и јазли се, односно, од страните и врвовите на геометриската фигура. Едноставен polyline и не смее да се сечат.

темиња на многуаголникот се нарекуваат соседите, во случај тие се на крајот на една од неговите страни. Геометриска фигура, која има n-ти број на темиња, а со тоа и на n-ти број на партии повикаа на n-гон. Самата искршена линија е граница или контурата на геометриската фигура. Полигонални авион или стан полигонот наречен последниот дел од кој било план, нивниот ограничен. Соседни страни на геометриската фигура наречена polyline сегменти кои потекнуваат од ист теме. Тие нема да бидат соседи, ако тие се базираат на различни темиња на многуаголникот.

Други дефиниции на конвексен многуаголник

Во основно геометрија, постојат неколку еквивалент во дефиниции значење, што укажува на она што се нарекува конвексен многуаголник. Покрај тоа, сите овие изјави се подеднакво точно. Конвексен многуаголник е онаа која има:

• секој сегмент што ги поврзува било кои две точки во него, лежи целосно во него;

• тука лежат сите негови дијагонали;

• секој ентериер агол не е поголема од 180 °.

Полигон секогаш дели на авионот во два дела. Еден од нив - на ограничено (тоа може да биде затворен во круг), а другиот - неограничено. Првиот се нарекува внатрешниот регион, а вториот - на надворешната површина на геометриската фигура. Ова е пресекот на многуаголникот (со други зборови - вкупниот компонента) неколку полу-авиони. Така, секој сегмент има крај на точки кои припаѓаат на полигон целосно му припаѓа.

Сорти на конвексен многуаголник

Дефиниција конвексен многуаголник не означува дека постојат многу видови на нив. И секој од нив има одредени критериуми. Така, конвексен многуаголник кои имаат внатрешен агол од 180 °, од малку конвексен. Конвексни геометриска фигура која има три врвови, се нарекува триаголник, четири - четириаголник, пет - петоаголник, итн Секој од конвексни n-gons ги исполнува следниве важни услови: .. N мора да биде еднаква или поголема од 3. Секоја од триаголници е конвексен. Геометриската фигура од овој тип во која сите темиња се наоѓаат на круг, наречен впишан круг. Опишан конвексен многуаголник се вика доколку сите страни околу кругот да ја допре. Две полигони се нарекуваат еднакви само во случај кога се користи за преклопување не може да се комбинираат. Стан полигонот наречен полигонални рамнина (авион дел) дека овој ограничен геометриска фигура.

Редовна конвексен многуаголник

Редовна полигони наречен геометриски форми со еднакви агли и страни. Во нив има една точка 0, што е на исто растојание од секој од неговите темиња. Тоа се нарекува центарот на геометриската фигура. Линии за поврзување на центарот со темиња на геометриската фигура наречена apothem, како и оние кои ги поврзуваат точка 0 со партиите - радиуси.

Точни правоаголник - плоштад. Рамностран триаголник се нарекува рамностран. За такви форми постои следново правило: секој агол конвексен многуаголник е 180 ° * (n-2) / n,

каде n - број на темиња на конвексни геометриска фигура.

Од областа на било правилен многуаголник се определува со формулата:

S = P * h,

каде што p е еднакво на половина од збирот на сите страни на многуаголник, и h е apothem должина.

Својства конвексен многуаголник

Конвексен многуаголник имаат одредени својства. Така, сегмент кој го поврзува било кои две точки на геометриска фигура, мора да се наоѓа во него. доказ:

Да претпоставиме дека P - конвексен многуаголник. Земете две произволни точки, на пример, А и Б, кои припаѓаат на П. Со актуелната дефиниција на конвексен многуаголник, овие точки се наоѓаат на една страна на права линија која содржи било кој правец Р Како резултат на тоа, AB, исто така, го има тоа својство и е содржан во Р. конвексен многуаголник секогаш може да се подели во неколку триаголници апсолутно сите дијагонали, која се одржа една од неговите темиња.

Агли конвексни геометриски форми

Аглите на конвексен многуаголник - се агли кои се формирани од страна на партиите. Во внатрешноста агли во внатрешната површина на геометриската фигура. Аголот која е формирана од страна на неговите страни кои се спојуваат во една теме, наречен аголот на конвексен многуаголник. Катчиња во непосредна близина на внатрешните агли на геометриска фигура, наречен надворешни. Секој агол на конвексен многуаголник, поставен во внатрешноста на неа, е:

180 ° - x

каде што x - вредност надвор од аголот. Оваа едноставна формула може да се примени на било кој тип на геометриски форми, како.

Во принцип, за надвор агли постојат следново правило: секој агол конвексен многуаголник е еднаква на разликата помеѓу 180 ° и вредноста на внатрешен агол. Тоа може да има вредности кои се движат од -180 ° до 180 °. Како резултат на тоа, кога внатрешниот агол од 120 °, на изглед ќе имаат вредност од 60 °.

На збирот на аглите на конвексен многуаголник

Збирот на внатрешни агли на конвексен многуаголник е формирана од страна на формулата:

180 ° * (n-2),

каде што n - број на темиња на n-Гон.

Збирот на аглите на конвексен многуаголник се пресметува многу едноставно. Сметаат дека таквите геометриски облик. За да се утврди збирот на аглите во конвексен многуаголник се потребни за да се поврзете еден од неговите темиња на други темиња. Како резултат на оваа акција се врти (n-2) на триаголникот. Познато е дека збирот на аглите на било кој триаголник е секогаш 180 °. Поради нивниот број во било еднакво на полигон (n-2), збирот на внатрешните агли на фигурата е еднакво на 180 ° x (n-2).

Изнесува конвексен многуаголник агли, имено, било кои два соседни внатрешни и надворешни агли на нив, во овој конвексни геометриска фигура секогаш ќе биде еднаква на 180 °. Врз основа на ова, може да се утврди збирот на сите агли:

180 x n.

Збирот на внатрешни агли е 180 ° * (n-2). Соодветно на тоа, збирот на сите на надворешните агли на Слика поставени од страна на формулата:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Збирот на надворешните агли на било конвексен многуаголник секогаш ќе биде еднаква на 360 ° (без оглед на бројот на неговите страни).

Надвор од аголот на конвексен многуаголник обично се претставени од страна на разликата помеѓу 180 ° и вредноста на внатрешен агол.

Други својства на конвексен многуаголник

Покрај основните својства на податоци геометриски фигури, тие, исто така, имаат и други, кои се јавуваат при ракување со нив. Така, секој на полигони може да се подели во повеќе конвексен n-gons. Да го направите ова, да продолжат да секој од неговите страни и намалување на геометриски облик по овие прави линии. Сплит било полигон во неколку конвексни делови е можно и, така што врвот на секоја од парчиња совпадне со сите свои темиња. Од геометриска фигура може да биде многу едноставно да се направи триаголници низ сите дијагонали од едно теме. Така, секој многуаголник, во крајна линија, може да се подели во одреден број на триаголници, што е многу корисна во решавање на различни задачи поврзани со таков геометриски форми.

На периметарот на конвексен многуаголник

Сегменти на polyline, полигон наречен партии, често се прикажани со следниве букви: AB, BC, CD, де, ЕЕЗ. Оваа страна на геометриската фигура со темиња а, б, в, г, д. Збирот на должините на страните на конвексен многуаголник се нарекува нејзиниот периметар.

На обемот на многуаголник

Конвексен многуаголник може да се внесе и опишани. Кругот тангента на сите страни на геометриската фигура, наречен впишани во неа. Овој полигон се нарекува опишани. кругот на центарот кој е впишан во многуаголникот е точка на пресекот на симетралите на аглите во рамките на дадена геометриски облик. Од областа на многуаголникот е еднаква на:

S = P * r,

каде R - радиус на впишан круг, и p - semiperimeter овој полигон.

Кружница содржи полигонот темиња, наречен опишани во близина на неа. Исто така, оваа конвексни геометриска фигура наречена запише. Кругот центар, кој е опишан во врска со ваквите многуаголник е т.н. пресечна точка midperpendiculars сите страни.

Дијагонала конвексни геометриски форми

Дијагоналите на конвексен многуаголник - сегмент кој не се поврзува соседните темиња. Секој од нив е во внатрешноста на оваа геометриска фигура. Бројот на дијагоналите на n-Гон се поставени во согласност со формулата:

N = n (n - 3) / 2.

Бројот на дијагоналите на конвексен многуаголник игра важна улога во основно геометрија. Бројот на триаголници (K), кои може да се скрши секој конвексен многуаголник, пресметува по следната формула:

K = n - 2.

Бројот на дијагоналите на конвексен многуаголник е секогаш зависи од бројот на темиња.

Поделба на конвексен многуаголник

Во некои случаи, да се реши задачите геометрија потребно да се пробие конвексен многуаголник во неколку триаголници со дијагонали кои немаат допирни точки. Овој проблем може да се реши со отстранување на одредена формула.

Дефинирање на проблемот: повик право вид на поделба на конвексна n-гон во неколку триаголници од дијагоналите кои се сечат само на темињата на геометриска фигура.

Решение: Да претпоставиме дека P1, P2, P3, ..., Pn - на врвот на n-Гон. Број Xn - бројот на неговите партиции. Внимателно да се разгледа како резултат на дијагонала геометриска фигура Пи Pn. Во која било од регуларниот партиции P1 Pn припаѓа на одредена триаголник P1 Pi Pn, каде што 1

Ајде i = 2 е група на редовни партиции, секогаш содржи дијагонала P2 Pn. Бројот на партиции кои се вклучени во неа, е еднаков на бројот на партиции (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Со други зборови, тоа е еднакво на Xn-1.

Ако i = 3, а потоа другите партиции група секогаш ќе содржат дијагонала P3 P1 и P3 Pn. Бројот на точни партиции кои се содржани во групата, ќе се совпадне со бројот на партиции (n-2) -gon P3, P4 ... Pn. Со други зборови, тоа ќе биде Xn-2.

Нека i = 4, а потоа на триаголници меѓу правилна поделба е обврзана да содржи еден триаголник P1 Pn P4, кој ќе adjoin на четириаголник P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P5 P4 ... Pn. Бројот на точни партиции како четириаголник еднаква X4, и бројот на партиции (n-3) -gon еднаква Xn-3. Врз основа на горенаведеното, можеме да кажеме дека вкупниот број на редовни партиции кои се содржани во оваа група е еднаква Xn-3 X4. Други групи, во која Јас = 4, 5, 6, 7 ... ќе содржи 4 Xn-X5, X6 Xn-5, Xn-6 ... X7 редовно партиции.

Ајде i = n-2, бројот на точни партиции во дадена група ќе се совпадне со бројот на партиции во групата, во која Јас = 2 (со други зборови, е еднаква на Xn-1).

Од X1 = X2 = 0, X3 = 1 и X4 = 2, ..., бројот на партиции од конвексен многуаголник е:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3, Xn-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 Xn-Xn-X 4 + 3 + 2 Xn-Xn-1.

На пример:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Бројот на точни партиции се пресекуваат во рок од една дијагонала

При проверка на поединечни случаи, може да се претпостави дека бројот на дијагоналите на конвексни n-гон е еднаква на производот на сите партиции на оваа шема шема (n-3).

Доказ за оваа претпоставка: Да претпоставиме дека P1n = Xn * (n-3), тогаш секој n-гон може да се подели (n-2) е триаголник. Во овој случај еден од нив може да бидат наредени (n-3) -chetyrehugolnik. Во исто време, секој четириаголник е дијагонала. Бидејќи ова конвексни геометриска фигура двете дијагонали може да се врши, што значи дека во секој (n-3) -chetyrehugolnikah може да спроведе дополнителни попречни (n-3). Врз основа на ова, можеме да заклучиме дека во било правилно партиција има можност да се (n-3) -diagonali ги исполнува барањата на оваа задача.

Површина конвексен многуаголник

Често, во решавање на разни проблеми на основните геометрија постои потреба да се одреди од областа на конвексен многуаголник. Претпостави дека (XI. Yi), i = 1,2,3 ... n претставува секвенца на координатите на сите соседни темиња на многуаголникот на, без авто-раскрсници. Во овој случај, неговата област е пресметано со следнава формула:

_{S = Ѕ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (y _{i +} y _i + _1)),

назначена со тоа, (X _1, Y _{1) = (X n +1, Y} n + _1).